Solution des exercices : Théorème de Thalès - 3e

Classe:

Troisième

Exercice 1

Calculons

x

$x$ dans les cas suivants :

Dans le premier cas, les droites

(F T)

$(FT)\$ et

(H G)

$\ (HG)$ sécantes en

E

$E$ sont coupées par deux droites parallèles

(F G)

$(FG)\$ et

(H T)

$\ (HT)$ donc, d'après le théorème de Thalès on a :

\frac{E F}{E T} = \frac{E G}{E H} = \frac{F G}{H T}

$\dfrac{EF}{ET}=\dfrac{EG}{EH}=\dfrac{FG}{HT}$

Par suite,

\begin{array}{rcl} \frac{E F}{E T} = \frac{E G}{E H} & \Rightarrow & \frac{3}{x} = \frac{2}{3} \\ \Rightarrow & 2 x = 9 \\ \Rightarrow & x = \frac{9}{2} \end{array}

$\begin{array}{rcl}\dfrac{EF}{ET}=\dfrac{EG}{EH}&\Rightarrow&\dfrac{3}{x}=\dfrac{2}{3}\\ \\&\Rightarrow&2x=9\\ \\&\Rightarrow&x=\dfrac{9}{2}\end{array}$

D'où,

x = \frac{9}{2}

$\boxed{x=\dfrac{9}{2}}$

Dans le deuxième cas, les droites

(A I)

$(AI)\$ et

(A V)

$\ (AV)$ sécantes en

A

$A$ sont coupées par deux droites parallèles

(R S)

$(RS)\$ et

(I V)

$\ (IV)$ donc, les triangles

A R S

$ARS\$ et

A I V

$\ AIV$ sont en position de Thalès.

Ainsi, en appliquant le théorème de Thalès, on obtient :

\frac{A R}{A I} = \frac{A S}{A V} = \frac{R S}{I V}

$\dfrac{AR}{AI}=\dfrac{AS}{AV}=\dfrac{RS}{IV}$

Par suite,

\begin{array}{rcl} \frac{A R}{A I} = \frac{A S}{A V} & \Rightarrow & \frac{3}{3 + x} = \frac{5}{7} \\ \Rightarrow & 5 (3 + x) = 21 \\ \Rightarrow & 5 x = 21 - 15 \\ \Rightarrow & x = \frac{6}{5} \end{array}

$\begin{array}{rcl}\dfrac{AR}{AI}=\dfrac{AS}{AV}&\Rightarrow&\dfrac{3}{3+x}=\dfrac{5}{7}\\ \\&\Rightarrow&5(3+x)=21\\ \\&\Rightarrow&5x=21-15\\ \\&\Rightarrow&x=\dfrac{6}{5}\end{array}$

D'où,

x = \frac{6}{5}

$\boxed{x=\dfrac{6}{5}}$

Exercice 2

Dans chacun des cas suivants,

E, A, C

$E\;,\ A\;,\ C$ sont trois points alignés d'une part, et

E, B, D

$E\;,\ B\;,\ D$ trois points alignés d'autre part, dans le même ordre.

Alors, d'après la réciproque du théorème de Thalès, si on a :

\frac{E A}{E C} = \frac{E B}{E D}

$\dfrac{EA}{EC}=\dfrac{EB}{ED}$ , on dira que les droites

(A B)

$(AB)\$ et

(C D)

$\ (CD)$ sont parallèles.

Dans le 1er cas on donne :

E A = \frac{1}{2}; E C = \frac{2}{3}; E B = 3; E D = 4

$EA=\dfrac{1}{2}\;;\ EC=\dfrac{2}{3}\;;\ EB=3\;;\ ED=4$

Calculons alors les rapports

\frac{E A}{E C}, \frac{E B}{E D}

$\dfrac{EA}{EC}\;,\ \dfrac{EB}{ED}$

On a :

\frac{E A}{E C} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{4}, et \frac{E B}{E D} = \frac{3}{4}

$\dfrac{EA}{EC}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{3}{4}\;,\quad\text{et }\ \dfrac{EB}{ED}=\dfrac{3}{4}$

Par suite,

\frac{E A}{E C} = \frac{E B}{E D}

$\dfrac{EA}{EC}=\dfrac{EB}{ED}$

Ainsi, les droites

(A B)

$(AB)\$ et

(C D)

$\ (CD)$ sont parallèles.

Dans le 2ème cas on donne :

E A = 2; E C = 3.2; E B = 4; E D = 6

$EA=2\;;\ EC=3.2\;;\ EB=4\;;\ ED=6$

Le calcul des rapports

\frac{E A}{E C}, \frac{E B}{E D}

$\dfrac{EA}{EC}\;,\ \dfrac{EB}{ED}$ donne :

\frac{E A}{E C} = \frac{2}{3.2} = \frac{2}{3.2}, et \frac{E B}{E D} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

$\dfrac{EA}{EC}=\dfrac{2}{3.2}=\dfrac{2}{3.2}\;,\quad\text{et }\ \dfrac{EB}{ED}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$

Ce qui montre que les rapports

\frac{E A}{E C}

$\dfrac{EA}{EC}\$ et

\frac{E B}{E D}

$\ \dfrac{EB}{ED}$ sont différents ;

(\frac{2}{3.2} \neq \frac{2}{3})

$\ \left(\dfrac{2}{3.2}\neq\dfrac{2}{3}\right)$

Or, pour que les droites

(A B)

$(AB)\$ et

(C D)

$\ (CD)$ soient parallèles, il faut avoir

\frac{E A}{E C} = \frac{E B}{E D}

$\dfrac{EA}{EC}=\dfrac{EB}{ED}$ , d'après la réciproque du théorème de Thalès.

Par conséquent, les droites

(A B)

$(AB)\$ et

(C D)

$\ (CD)$ ne sont pas parallèles, pour ce deuxième cas.

Exercice 3

A B C D

$ABCD$ est un trapèze de bases

(A B)

$(AB)\$ et

(D C)

$\ (DC)$ tel que :

A B = 3 c m; B C = 4 c m; D C = 5 c m

$AB=3\;cm\;;\ BC=4\;cm\;;\ DC=5\;cm\$ et

\hat{B C D} = 60^{\circ}

$\ \widehat{BCD}=60^{\circ}$

La parallèle à

(B C)

$(BC)$ passant par

A

$A$ coupe

(B D)

$(BD)$ en

I

$I$ et

(D C)

$(DC)$ en

M .

$M.$

1) Faisons la figure.

2) Nature du quadrilatère

A B C M

$ABCM$

En effet, la parallèle à

(B C)

$(BC)$ passant par

A

$A$ coupe

(D C)

$(DC)$ en

M .

$M.$

Donc, les droites

(A M)

$(AM)\$ et

(B C)

$\ (BC)$ sont parallèles.

De plus,

A B C D

$ABCD$ est un trapèze dont les bases

(A B)

$(AB)\$ et

(D C)

$\ (DC)$ sont parallèles.

Par suite,

A B C M

$ABCM$ est un quadrilatère dont les côtés sont parallèles deux à deux.

Par conséquent,

A B C M

$ABCM$ est un parallélogramme.

Déduisons

M C

$MC$

A B C M

$ABCM$ étant un parallélogramme alors,

M C = A B

$MC=AB\$ or,

A B = 3 c m

$\ AB=3\;cm$

Donc,

M C = 3 c m

$\boxed{MC=3\;cm}$

Calculons

A I

$AI$

On a :

(I M)

$(IM)$ parallèle à

(B C)

$(BC)$ donc, les triangles

D I M

$DIM\$ et

D B C

$\ DBC$ sont en position de Thalès.

Ainsi, d'après le théorème de Thalès, on aura :

\frac{D M}{D C} = \frac{D I}{D B} = \frac{M I}{B C}

$\dfrac{DM}{DC}=\dfrac{DI}{DB}=\dfrac{MI}{BC}$

Par suite,

\begin{array}{rcl} \frac{M I}{B C} = \frac{D M}{D C} & \Rightarrow & \frac{M I}{B C} = \frac{D C - M C}{D C} car D M = D C - M C \\ \Rightarrow & \frac{M I}{4} = \frac{5 - 3}{5} \\ \Rightarrow & 5 \times M I = 2 \times 4 \\ \Rightarrow & M I = \frac{8}{5} \\ \Rightarrow & M I = 1.6 \end{array}

$\begin{array}{rcl}\dfrac{MI}{BC}=\dfrac{DM}{DC}&\Rightarrow&\dfrac{MI}{BC}=\dfrac{DC-MC}{DC}\quad\text{car }\ DM=DC-MC\\ \\&\Rightarrow&\dfrac{MI}{4}=\dfrac{5-3}{5}\\ \\&\Rightarrow&5\times MI=2\times 4\\ \\&\Rightarrow&MI=\dfrac{8}{5}\\ \\&\Rightarrow&MI=1.6\end{array}$

Ainsi,

M I = 1.6 c m

$\boxed{MI=1.6\;cm}$

Par ailleurs,

A I = A M - M I

$AI=AM-MI$

Mais comme

A B C M

$ABCM$ est un parallélogramme alors,

A M = B C = 4 c m

$AM=BC=4\;cm$

Par conséquent,

\begin{array}{rcl} A I = B C - M I & = & 4 - 1.6 \\ = & 2.4 \end{array}

$\begin{array}{rcl} AI=BC-MI&=&4-1.6\\ \\&=&2.4\end{array}$

D'où,

A I = 2.4 c m

$\boxed{AI=2.4\;cm}$

3) Soit

P

$P$ un point de

[B C]

$[BC]$ tel que

P C = 2.4

$PC=2.4$

Montrons que les droites

(M N)

$(MN)\$ et

(D B)

$\ (DB)$ sont parallèles.

Soit

C, P, B

$C\;,\ P\;,\ B$ trois points alignés d'une part, et

C, M, D

$C\;,\ M\;,\ D$ trois points alignés d'autre part, dans le même ordre.

On a :

\frac{C M}{C D} = \frac{3}{5} = 0.6 et \frac{C P}{C B} = \frac{2.4}{4} = 0.6

$\dfrac{CM}{CD}=\dfrac{3}{5}=0.6\quad\text{et}\quad\dfrac{CP}{CB}=\dfrac{2.4}{4}=0.6$

Ce qui montre que :

\frac{C M}{C D} = \frac{C P}{C B}

$\dfrac{CM}{CD}=\dfrac{CP}{CB}$

D'où, les droites

(M P)

$(MP)\$ et

(D B)

$\ (DB)$ sont parallèles, d'après la réciproque du théorème de Thalès.

Exercice 4

On considère le triangle

A B C

$ABC$ rectangle en

A

$A$ tel que

A B = 6

$AB=6\$ et

A C = 8.

$\ AC=8.$

Le cercle de centre

B

$B$ et de rayon 6 coupe

[B C]

$[BC]$ en

M .

$M.$

Soit

N

$N$ un point du segment

[A B]

$[AB]$ tel que

A N = 2.4

$AN=2.4$

1) Calculons

B C

$BC$

Le triangle étant rectangle en

A

$A$ , on utilise le théorème de Pythagore pour calculer

B C .

$BC.$

On a :

\begin{array}{rcl} B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} & \Rightarrow & B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} \\ \Rightarrow & B C = \sqrt{36 + 64} \\ \Rightarrow & B C = \sqrt{100} \\ \Rightarrow & B C = 10 \end{array}

$\begin{array}{rcl} BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}&\Rightarrow&BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}\\\\&\Rightarrow&BC=\sqrt{36+64}\\\\&\Rightarrow&BC=\sqrt{100}\\\\&\Rightarrow&BC=10\end{array}$

D'où,

B C = 10

$\boxed{BC=10}$

2) Démontrons que les droites

(M N)

$(MN)\$ et

(A C)

$\ (AC)$ sont parallèles

Considérons

B, N, A

$B\;,\ N\;,\ A$ trois points alignés d'une part, et

B, M, C

$B\;,\ M\;,\ C$ trois points alignés d'autre part, dans le même ordre.

Calculons alors les rapports

\frac{B N}{A B} et \frac{B M}{B C}

$\dfrac{BN}{AB}\quad\text{et}\quad\dfrac{BM}{BC}$

On a :

\begin{array}{rcl} \frac{B N}{A B} & = & \frac{A B - A N}{A B} car, B N = A B - A N \\ = & \frac{6 - 2.4}{6} \\ = & \frac{3.6}{6} \\ = & 0.6 \end{array}

$\begin{array}{rcl}\dfrac{BN}{AB}&=&\dfrac{AB-AN}{AB}\quad\text{car, }\ BN=AB-AN\\ \\&=&\dfrac{6-2.4}{6}\\ \\&=&\dfrac{3.6}{6}\\ \\&=&0.6\end{array}$

D'où,

\frac{B N}{A B} = 0.6

$\dfrac{BN}{AB}=0.6$

Aussi, on sait que

M \in C (B, 6)

$M\in\;\mathcal{C}(B\;,\ 6)$ donc,

B M = 6

$BM=6$

Par suite,

\frac{B M}{B C} = \frac{6}{10} = 0.6

$\dfrac{BM}{BC}=\dfrac{6}{10}=0.6$

Ce qui montre alors :

\frac{B N}{B A} = \frac{B M}{B C}

$\dfrac{BN}{BA}=\dfrac{BM}{BC}$

Par conséquent, la réciproque du théorème de Thalès permet de conclure que les droites

(M N)

$(MN)\$ et

(A C)

$\ (AC)$ sont parallèles.

Calculons

M N

$MN$

Les droites

(M N)

$(MN)\$ et

(A C)

$\ (AC)$ étant parallèles alors, les triangles

B N M

$BNM\$ et

B A C

$\ BAC$ sont en position de Thalès.

Ainsi, d'après le théorème de Thalès, on obtient :

\frac{B N}{B A} = \frac{B M}{B C} = \frac{M N}{A C}

$\dfrac{BN}{BA}=\dfrac{BM}{BC}=\dfrac{MN}{AC}$

Par suite,

\begin{array}{rcl} \frac{M N}{A C} = \frac{B M}{B C} & \Rightarrow & \frac{M N}{8} = \frac{6}{10} \\ \Rightarrow & 10 \times M N = 6 \times 8 \\ \Rightarrow & M N = \frac{48}{10} \\ \Rightarrow & M N = 4.8 \end{array}

$\begin{array}{rcl}\dfrac{MN}{AC}=\dfrac{BM}{BC}&\Rightarrow&\dfrac{MN}{8}=\dfrac{6}{10}\\ \\&\Rightarrow&10\times MN=6\times 8\\ \\&\Rightarrow&MN=\dfrac{48}{10}\\ \\&\Rightarrow&MN=4.8\end{array}$

D'où,

M N = 4.8

$\boxed{MN=4.8}$

Exercice 5

Considérons un rectangle

A B C D

$ABCD$ tel que

A B = 4 c m, B C = 3 c m .

$AB=4\;cm\;,\ BC=3\;cm.$

M

$M$ est un point de

[A B]

$[AB]$ tel que

A M = 2.5 c m

$AM=2.5\;cm\$ et soit

(A C)

$\ (AC)$ et

(D M)

$\ (DM)$ deux droites qui se coupent en

I .

$I.$

Soit

K

$K$ un point de

[C D]

$[CD]$ tel que

D K = 1.6 c m

$DK=1.6\;cm\$ et

H

$\ H$ un point de

[D A]

$[DA]$ tel que

A H = 1.8 c m

$AH=1.8\;cm$

1) Calculons

A C

$AC$

Comme

A B C D

$ABCD$ est un rectangle alors, le triangle

A B C

$ABC$ est rectangle en

B .

$B.$

Donc, pour calculer

A C

$AC$ on applique le théorème de Pythagore :

A C^{2} = A B^{2} + B C^{2}

$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$

Alors, on a :

\begin{array}{rcl} A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} & \Rightarrow & A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} \\ \Rightarrow & A C = \sqrt{16 + 9} \\ \Rightarrow & A C = \sqrt{25} \\ \Rightarrow & A C = 5 \end{array}

$\begin{array}{rcl} AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}&\Rightarrow&AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}\\\\&\Rightarrow&AC=\sqrt{16+9}\\\\&\Rightarrow&AC=\sqrt{25}\\\\&\Rightarrow&AC=5\end{array}$

D'où,

A C = 5 c m

$\boxed{AC=5\;cm}$

Calculons

A I

$AI$

A B C D

$ABCD$ étant un rectangle donc,

A B = D C

$AB=DC$ et les droites

(A B)

$(AB)\$ et

(D C)

$\ (DC)$ sont parallèles.

Comme

(A B)

$(AB)$ et

(A M)

$(AM)$ sont confondues, cela revient donc à dire que les droites

(A M)

$(AM)\$ et

(D C)

$\ (DC)$ sont parallèles.

Par suite, les droites

(A C)

$(AC)\$ et

(D M)

$\ (DM)$ sécantes en

I

$I$ étant coupées par deux droites parallèles

(A M)

$(AM)\$ et

(D C)

$\ (DC)$ alors, en appliquant le théorème de Thalès, on obtient :

\frac{I M}{I D} = \frac{A I}{I C} = \frac{A M}{D C}

$\dfrac{IM}{ID}=\dfrac{AI}{IC}=\dfrac{AM}{DC}$

Ainsi,

\begin{array}{rcl} \frac{A I}{I C} = \frac{A M}{D C} & \Rightarrow & \frac{A I}{I C} = \frac{2.5}{4} \\ \Rightarrow & 4 \times A I = 2.5 \times I C or, I C = A C - A I \\ \Rightarrow & 4 \times A I = 2.5 (A C - A I) or, A C = 5 c m \\ \Rightarrow & 4 \times A I = 2.5 \times (5 - A I) \\ \Rightarrow & 4 \times A I + 2.5 \times A I = 12.5 \\ \Rightarrow & 6.5 \times A I = 12.5 \\ \Rightarrow & A I = \frac{12.5}{6.5} \\ \Rightarrow & A I = 1.9 \end{array}

$\begin{array}{rcl}\dfrac{AI}{IC}=\dfrac{AM}{DC}&\Rightarrow&\dfrac{AI}{IC}=\dfrac{2.5}{4}\\ \\&\Rightarrow&4\times AI=2.5\times IC\quad\text{or, }\ IC=AC-AI\\ \\&\Rightarrow&4\times AI=2.5(AC-AI)\quad\text{or, }\ AC=5\;cm\\ \\&\Rightarrow&4\times AI=2.5\times(5-AI)\\ \\&\Rightarrow&4\times AI+2.5\times AI=12.5\\ \\&\Rightarrow&6.5\times AI=12.5\\ \\&\Rightarrow&AI=\dfrac{12.5}{6.5}\\ \\&\Rightarrow&AI=1.9\end{array}$

Donc,

A I = 1.9 c m

$\boxed{AI=1.9\;cm}$

2) Démontrons que les droites

(H K)

$(HK)\$ et

(A C)

$\ (AC)$ sont parallèles.

Considérons

D, H, A

$D\;,\ H\;,\ A$ trois points alignés d'une part, et

D, K, C

$D\;,\ K\;,\ C$ trois points alignés d'autre part, dans le même ordre.

Calculons les rapports

\frac{D H}{D A} et \frac{D K}{D C}

$\dfrac{DH}{DA}\quad\text{et}\quad\dfrac{DK}{DC}$

On a :

\begin{array}{rcl} \frac{D H}{D A} & = & \frac{D A - A H}{D A} car, D H = D A - A H \\ = & \frac{3 - 1.8}{3} \\ = & \frac{1.2}{3} \\ = & 0.4 \end{array}

$\begin{array}{rcl}\dfrac{DH}{DA}&=&\dfrac{DA-AH}{DA}\quad\text{car, }\ DH=DA-AH\\ \\&=&\dfrac{3-1.8}{3}\\ \\&=&\dfrac{1.2}{3}\\ \\&=&0.4\end{array}$

D'où,

\frac{D H}{D A} = 0.4

$\dfrac{DH}{DA}=0.4$

Aussi,

\frac{D K}{D C} = \frac{1.6}{4} = 0.4

$\dfrac{DK}{DC}=\dfrac{1.6}{4}=0.4$

On constate alors :

\frac{D H}{D A} = \frac{D K}{D C}

$\dfrac{DH}{DA}=\dfrac{DK}{DC}$

Par conséquent, la réciproque du théorème de Thalès permet de conclure que les droites

(H K)

$(HK)\$ et

(A C)

$\ (AC)$ sont parallèles.

Exercice 6

On considère deux cercles

C (O; 1.5)

$\mathcal{C}(O\;;\ 1.5)\$ et

C^{'} (O^{'}; 3)

$\ \mathcal{C}'(O'\;;\ 3)$ tangents extérieurement en

I .

$I.$

Soit

(Δ)

$(\Delta)$ une droite tangente à

(C)

$(\mathcal{C})\$ et à

(C^{'})

$\ (\mathcal{C}')$ respectivement en

A

$A\$ et

B, (A \neq B) .

$\ B\;,\ (A\neq B).$

(Δ)

$(\Delta)$ coupe

(O O^{'})

$(OO')$ en

P .

$P.$

1) Démontrons que la droite

(O A)

$(OA)$ est parallèle à la droite

(O^{'} B)

$(O'B)$

On a :

(Δ)

$(\Delta)$ tangente à

(C)

$(\mathcal{C})$ en

A

$A$ alors,

(O A)

$(OA)$ est perpendiculaire à

(Δ)

$(\Delta)$

aussi,

(Δ)

$(\Delta)$ tangente à

(C^{'})

$(\mathcal{C}')$ au point

B

$B$ donc,

(O^{'} B)

$(O'B)$ perpendiculaire à

(Δ)

$(\Delta)$

Ainsi,

(O A)

$(OA)\$ et

(O^{'} B)

$\ (O'B)$ sont deux droites perpendiculaires à une même droite

(Δ) .

$(\Delta).$

Par conséquent,

(O A)

$(OA)\$ et

(O^{'} B)

$\ (O'B)$ sont parallèles.

2) a) On pose

P O = x

$PO=x$ ; exprimons

P O^{'}

$PO'$ en fonction de

x

$x$

On a :

\begin{array}{rcl} P O^{'} & = & P O + O O^{'} or, O O^{'} = O I + I O^{'} \\ = & P O + O I + I O^{'} \\ = & x + 1.5 + 3 \\ = & x + 4.5 \end{array}

$\begin{array}{rcl} PO'&=&PO+OO'\quad\text{or, }\ OO'=OI+IO'\\\\&=&PO+OI+IO'\\\\&=&x+1.5+3\\\\&=&x+4.5\end{array}$

D'où,

P O^{'} = x + 4.5

$\boxed{PO'=x+4.5}$

Calculons

P O

$PO$

Comme

P O = x

$PO=x$ alors, calculer

P O

$PO$ revient à trouver la valeur de

x

$x$

On a :

(P O^{'})

$(PO')\$ et

(P B)

$\ (PB)$ deux droites sécantes coupées par deux droites parallèles

(O A)

$(OA)\$ et

(O^{'} B)

$\ (O'B)$ donc, les triangles

P O A

$POA\$ et

P O^{'} B

$\ PO'B$ sont en position de Thalès.

Par suite, en appliquant le théorème de Thalès, on obtient :

\frac{P O}{P O^{'}} = \frac{O A}{O^{'} B} = \frac{P A}{P B}

$\dfrac{PO}{PO'}=\dfrac{OA}{O'B}=\dfrac{PA}{PB}$

Ainsi,

\begin{array}{rcl} \frac{P O}{P O^{'}} = \frac{O A}{O^{'} B} & \Rightarrow & \frac{x}{x + 4.5} = \frac{1.5}{3} \\ \Rightarrow & 3 x = 1.5 (x + 4.5) \\ \Rightarrow & 3 x - 1.5 x = 1.5 \times 4.5 \\ \Rightarrow & 1.5 x = 6.75 \\ \Rightarrow & x = \frac{6.75}{1.5} \\ \Rightarrow & x = 4.5 \end{array}

$\begin{array}{rcl}\dfrac{PO}{PO'}=\dfrac{OA}{O'B}&\Rightarrow&\dfrac{x}{x+4.5}=\dfrac{1.5}{3}\\ \\&\Rightarrow&3x=1.5(x+4.5)\\ \\&\Rightarrow&3x-1.5x=1.5\times 4.5\\ \\&\Rightarrow&1.5x=6.75\\ \\&\Rightarrow&x=\dfrac{6.75}{1.5}\\ \\&\Rightarrow&x=4.5\end{array}$

D'où,

x = 4.5

$x=4.5\$ or,

P O = x

$PO=x$

Par conséquent,

P O = 4.5

$\boxed{PO=4.5}$

b) En déduisons la valeur exacte de

P A

$PA$

P A O

$PAO$ est un triangle rectangle en

A

$A$ donc, d'après le théorème de Pythagore, on a :

P O^{2} = P A^{2} + O A^{2}

$PO^{2}=PA^{2}+OA^{2}$

Ainsi,

\begin{array}{rcl} P O^{2} = P A^{2} + O A^{2} & \Rightarrow & P A^{2} = P O^{2} - O A^{2} \\ \Rightarrow & P A = \sqrt{P O^{2} - O A^{2}} \\ \Rightarrow & P A = \sqrt{20.25 - 2.25} \\ \Rightarrow & P A = \sqrt{18} \\ \Rightarrow & P A = 3 \sqrt{2} \end{array}

$\begin{array}{rcl} PO^{2}=PA^{2}+OA^{2}&\Rightarrow&PA^{2}=PO^{2}-OA^{2}\\ \\&\Rightarrow&PA=\sqrt{PO^{2}-OA^{2}}\\ \\&\Rightarrow&PA=\sqrt{20.25-2.25}\\ \\&\Rightarrow&PA=\sqrt{18}\\ \\&\Rightarrow&PA=3\sqrt{2}\end{array}$

D'où,

P A = 3 \sqrt{2}

$\boxed{PA=3\sqrt{2}}$

c) Démontrons que

P I = 6

$PI=6$

On a :

P I = P O + O I

$PI=PO+OI\$ or,

P O = 4.5

$PO=4.5\$ et

O I = 1.5

$\ OI=1.5$

Par suite :

P I = 4.5 + 1.5 = 6

$PI=4.5+1.5=6$

3) Soit

I^{'}

$I'$ le point de

[A B]

$[AB]$ tel que

P I^{'} = 4 \sqrt{2} .

$PI'=4\sqrt{2}.$ Démontrons que les droites

(O A)

$(OA)\$ et

(I I^{'})

$\ (II')$ sont parallèles.

Considérons

P, A, I^{'}

$P\;,\ A\;,\ I'$ trois points alignés d'une part, et

P, O, I

$P\;,\ O\;,\ I$ trois points alignés d'autre part, dans le même ordre.

Calculons les rapports

\frac{P A}{P I^{'}} et \frac{P O}{P I}

$\dfrac{PA}{PI'}\quad\text{et}\quad\dfrac{PO}{PI}$

On a :

\frac{P A}{P I^{'}} = \frac{3 \sqrt{2}}{4 \sqrt{2}} = \frac{3}{4} = 0.75

$\dfrac{PA}{PI'}=\dfrac{3\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=\dfrac{3}{4}=0.75$

\frac{P O}{P I} = \frac{4.5}{6} = 0.75

$\dfrac{PO}{PI}=\dfrac{4.5}{6}=0.75$

Ce qui montre que :

\frac{P A}{P I^{'}} = \frac{P O}{P I}

$\dfrac{PA}{PI'}=\dfrac{PO}{PI}$

Par conséquent, la réciproque du théorème de Thalès permet de conclure que les droites

(O A)

$(OA)\$ et

(I I^{'})

$\ (II')$ sont parallèles.

Solution des exercices : Théorème de Thalès - 3e

Formulaire de recherche

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6